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Números Primos : Fundamentos Teóricos y Propiedades Fundamentales.

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Qué son los números primos.



Aquí hablaremos de otros tipos de números naturales llamados “ Números Primos ”, los cuales son muy importantes en las matemáticas, en la criptografía, en la informática y en la vida cotidiana.


Los números primos se han estudiado y analizado en la antigüedad por los griegos, por los babilónicos y por los egipcios donde dichas evidencias han sido encontradas en tablillas de arcillas y en la actualidad estos números se han convertido en un bloque fundamental del mundo de las matemáticas.


Estos tipos de números naturales, también cuentan con propiedades fundamentales y hoy en día se aplican a través de algoritmos matemáticos que permiten la seguridad de la información, la privacidad de las comunicaciones electrónicas con mensajes encriptados y la obtención de códigos criptográficos de forma segura, es decir, nos permiten codificar cualquier tipo de información y este tipo de codificación lo usan los bancos actualmente en las transferencias bancarias y operaciones administrativas con el objetivo de tener una alta seguridad.




1-) ¿ Qué son los números primos ?.

Cuando empezamos a estudiar el tema matemático de los números primos siempre debemos de recordar que los números primos se definen como aquellos números naturales que son divisibles entre ellos mismos y la unidad.


Para que los estudiantes puedan conocer cuáles son los números primos los profesores de matemática usan una tabla didáctica llamada “ Criba de Eratóstenes ” , la cual es una tabla cuadriculada del 1 al 100 como se muestra a continuación.


Construye esta tabla en tu cuaderno y sigue estos pasos para que así tú puedas entender y comprender este concepto matemático fundamental.


Paso 1 : Primero tachamos el número uno que no es un número primo.



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Paso 2 : Se selecciona el número 2 y este será nuestro primer número primo.



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Paso 3 : Se tachan los números que sean múltiplos de 2.



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Paso 4 : Seleccionamos el siguiente número primo que es el 3.



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Paso 5 : Se tachan los números que sean múltiplos de 3.



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Paso 6 : Seleccionamos el siguiente número primo que es el 5.



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Paso 7 : Se tachan los números que sean múltiplos de 5.



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Paso 8 : Seleccionamos nuestro siguiente número primo que es el 7.



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Paso 9 : Se tachan los números que sean múltiplos de 7.



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Paso 10 : Seleccionamos el siguiente número primo que es el 11 y después tachamos los números que sean múltiplos de 11.



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Y al realizar estos pasos de forma organizada, los números que quedaron sin tachar serán los números primos correspondientes a los números naturales del 1 al 100, los cuales son :


Npr = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 }



2-) Números primos relativos o có-primos.

Son aquellos números naturales que tienen como divisor común solamente al número uno, es decir, a la unidad.

 
Ejemplo 1 : ¿ Son 3, 5 y 11 números primos relativos ?.


Solución :


Divisores de 3 : 1 y 3.
Divisores de 5 : 1 y 5.
Divisores de 7 : 1 y 7.


Se puede observar que el único divisor común es el número uno, por tanto, 3, 5 y 7 son números primos relativos.


Ejemplo 2 : ¿ Son 6, 8 y 12 números primos relativos ?.


Solución :


Divisores de 6 : 1, 2, 3 y 6.
Divisores de 8 : 1, 2, 4 y 8.
Divisores de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 y 12.


Podemos observar que 6, 8 y 12 no son números primos relativos, ya que para serlo deben tener solamente al número uno como divisor común entre ellos.


Ejemplo 3 : ¿ Son 7 y 16 números primos relativos ?.


Solución :

 
Divisores de 7 : 1 y 7.
Divisores de 16 : 1, 2, 4, 8 y 16.


Se puede observar que 7 y 16 tienen como divisor común al número 1, por tanto, 7 y 16 son números primos relativos.



3-) Propiedades de los números primos.

Los números primos clasificados como tipos de números naturales, también cuentan con sus propiedades fundamentales que lo hacen único y especial y estas son :


a-) Los números primos son infinitos : Si empezamos a escribir en una lista a los números primos iniciando con el 2, nos daremos cuenta de su infinitud.


b-) El número uno no es un número primo, esto debido a que sólo tiene un divisor.


c-) El número 2 es el único número primo par que existe.


d-) La suma, la resta y la multiplicación de dos números primos diferentes de 2, nos da como resultado un número compuesto.


Ejemplo : 


Suma : 3 + 5 = 8
Resta : 11 - 5 = 6
Multiplicación : 3 x 7 = 21


Conclusión : 6, 8 y 21 son números compuestos, ya que tienen más de dos divisores.


e-) El número 2 y el número 3 son los únicos números primos que están consecutivos.


f-) El número cero no es un número primo.


g-) Todo número primo p divide a una potencia del número n y también divide a n.


Ejemplo : Sea p = 3 y n = 9.


Si tenemos al número 81 que es una potencia de 9, es decir,  $9^2$.


Se observa que :


81/3 = 27
9/3 = 3


Esto significa que 3 divide tanto a 81 como a 9.


h-) Si p es primo y divisor del producto a x b, entonces p divide a uno de ellos.


Ejemplo :

 
El número primo 5 divide al producto 15 x 4 = 60, esto debido a que 5 es divisor del 15.


i-) Todos los números primos son impares, excepto el 2, pero no todos los números impares son primos.


Ejemplo :


- El 5 es un número primo, ya que tiene solamente dos divisores que son el mismo y la unidad y también el 5 es un número impar.


- El 9 es un número impar, pero no es un número primo, ya que tiene más de dos divisores, los cuales son 1, 3 y 9.


j-) El número primo más pequeño es el 2.



Nota : Euclides fue el primer matemático en realizar un estudio formal de los números primos y también fue el primero en demostrar que los números primos son infinitos y una de sus frases con respecto a este tema matemático es : “ Los números primos son más que cualquier multitud fijada en ellos ”.



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