Cuando empezamos a estudiar el tema matemático de los conjuntos numéricos nos damos cuenta de que los números naturales son un subconjunto de los números enteros.
Pero te has preguntado alguna vez ¿ Los números naturales tienen subconjuntos ?, y la respuesta es sí, por eso en este artículo te mostraremos cuáles son los números que son subconjuntos de los números naturales, también vas a aprender su conceptualización matemática y sobre todo sus propiedades fundamentales.
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Tabla de contenidos |
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2-) Números pares y sus propiedades
3-) Números impares y sus propiedades
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1-) ¿ Qué es un subconjunto ?.
Antes de hablar de este tema matemático primero debemos de saber “ qué es un subconjunto ” y lo definimos de esta forma :
Dados dos conjuntos A y B, decimos que :
A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B.
Se denota así A ⊆ B y se lee de dos formas :
“ A es un subconjunto de B ” o “ A está incluido en B ”.
Notación matemática :
A ⊆ B ↔ ∀x / x ∈ A → x ∈ B
Esto se lee así :
A es un subconjunto de B sí y sólo si para toda x, tal que si x
pertenece a A, entonces x también pertenece a B.
Nota :
∈ : “ Pertenece a ” o “ Es elemento de ”.
∉ : “ No pertenece a ” o No es elemento de ”.
Ejemplo : Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3 } y B = { 1,
2, 3, 4, 5 }.
Solución :
Podemos observar que los elementos 1, 2 y 3 pertenecen al
conjunto A, pero también pertenecen al conjunto B.
1 ∈ A → 1 ∈ B
2 ∈ A → 2 ∈ B
3 ∈ A → 3 ∈ B
Por tanto, concluimos que A es un subconjunto de B.
2-) Números pares y sus propiedades.
Los números pares son un concepto matemático muy simple y sencillo y además de eso son el primer subconjunto de los números naturales que veremos y estos se definen de la forma siguiente : Son aquellos números naturales que son múltiplos de 2 y son de la forma P = 2n, donde n es un número natural.
También podemos definir a los números pares como aquellos números naturales que son divisibles entre 2.
Por ejemplo, si tú tienes 10 pedazos de pizza para repartirlos entre 5 personas, entonces cada persona tendría cada una 2 pedazos de pizza, por tanto, se concluye que 10 es divisible entre 2 y también es un número par.
Si usamos los números naturales y los sustituimos en la expresión
P = 2n, obtendríamos los números pares.
Ejemplo :
n = 0 → P = 2(0) = 0
n = 1 → P = 2(1) = 2
n = 2 → P =
2(2) = 4
n = 3 → P = 2(3) = 6
n = 4 → P = 2(4) = 8
y así sucesivamente…
Se denotan así :
$N_p = \{ 0, 2, 4, 6, 8, ... \}$
Números pares del 1 al 100.
Nota : Los números encerrados entre paréntesis son los números pares del 1 al 100.
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99 |
(100) |
Propiedades de los números pares.
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Propiedad |
Descripción |
Ejemplo |
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Adición |
a-) Si sumamos
dos números pares, el resultado será un número par. b-) Si sumamos
un número par y un número impar, el resultado será un número impar. |
a-) 2 + 8 = 10
b-) 4 + 3 = 7 |
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Sustracción |
a-) Si restamos
dos números pares, el resultado será un número par. b-) Si restamos
un número par y un número impar, el resultado será un número impar. |
a-) 10 – 4 = 6
b-) 12 – 7 = 5 |
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Multiplicación |
a-) Si
multiplicamos dos números pares, el resultado será un número par. b-) Si
multiplicamos un número par y un número impar, el resultado será un número
par. |
a-) 4 x 2 = 8
b-) 8 x 3 = 24 |
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División |
a-) Si dividimos
dos números pares, el resultado será un número par o un número decimal. |
8/2 = 4 10/4 = 2.5 |
Otras propiedades de los números pares.
a-) El número cero es un número par.
b-) Los números pares terminan en 0, 2, 4, 6 y 8.
c-) El cuadrado de un número par siempre es un número par.
Ejemplos :
$2^2 = 4$
$14^2 = 196$
$32^2 = 1,024$
3-) Números impares y sus propiedades.
Los números impares se definen como los números naturales que no son múltiplos de 2, también los podemos definir como aquellos números naturales que no son divisibles entre 2.
Los números impares son de la forma :
a-) i = 2n + 1
b-) i = 2n – 1
donde n es un número natural.
Por ejemplo, si tenemos 5 manzanas y queremos repartirlas entre
4 personas, nos daremos cuenta que sobrará una manzana, por tanto, 5
no se puede dividir entre 4 y no obtendríamos como resultado una
cantidad impar.
Si usamos los números naturales y los sustituimos en la
expresión i = 2n + 1, obtendríamos los números impares.
Ejemplo :
n = 0 → 2(0) + 1 = 1
n = 1 → 2(1) + 1 = 3
n =
2 → 2(2) + 1 = 5
n = 3 → 2(3) + 1 = 7
n = 4 → 2(4) + 1 =
9
Y así sucesivamente…
Se denotan así :
$N_i = \{ 1, 3, 5, 7, 9, ... \}$
Números impares del 1 al 100.
Nota : Los números encerrados entre paréntesis son los números impares del 1 al 100.
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Propiedades de los números impares.
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Propiedad |
Descripción |
Ejemplo |
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Adición |
a-) Si sumamos
dos números impares, el resultado será un número par. b-) Si sumamos
un número impar y un número par, el resultado será un número impar. |
a-) 5 + 3 = 8
b-) 9 + 2 = 11 |
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Sustracción |
a-) Si restamos
dos números impares, el resultado será un número par. b-) Si restamos
un número impar y un número par, el resultado será un número impar. |
a-) 7 – 3 = 4
b-) 13 – 8 = 5 |
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Multiplicación |
a-) Si
multiplicamos dos números impares, el resultado será un número impar. b-) Si
multiplicamos un número impar y un número par, el resultado será un número
par. |
a-) 3 x 7 = 21 b-) 5 x 2 = 10 |
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División |
a-) Si dividimos
dos números impares, el resultado será un número impar o un número decimal. |
21/3 = 7 7/5 = 1.4 |
Otras propiedades de los números impares.
a-) La suma de los primeros n números impares es igual a $n^2$.
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Cantidad de números impares sumados |
Suma |
$n^2$ |
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Los primeros 2 impares |
1 + 3 = 4 |
$2^2$ |
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Los primeros 3 impares |
1 + 3 + 5 = 9 |
$3^2$ |
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Los primeros 4 impares |
1 + 3 + 5 +7 = 16 |
$4^2$ |
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Los primeros 5 impares |
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 |
$5^2$ |
b-) Los números impares terminan en 1, 3, 5, 7 y 9.
c-) Los números impares forman una progresión aritmética con
una diferencia de 2 y esto significa que sumar o restar 2 a un número
impar nos da como resultado otro número impar.
d-) El cuadrado de un número impar siempre es un número impar.
Ejemplos :
$3^2 = 9$
$11^2 = 121$
Notas :
- Los números negativos también se pueden clasificar como
números pares e impares.
- Si restamos la unidad a un número par, se obtiene como resultado un número
impar.
- En los números enteros el número par más pequeño es el
cero.
- Los números pares e impares son infinitos.
Ejercicio resuelto : Diga cuáles son números pares y
números impares en la siguiente tabla.
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Número |
Par o Impar |
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123 |
Impar |
|
46 |
Par |
|
6,789 |
Impar |
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28 |
Par |
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345 |
Impar |
|
68 |
Par |
|
120 |
Par |
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