Introducción
Las disciplinas científicas han demostrado que tienen un carácter epistemológico basado en teorías fundamentales que hacen de ellas algo esencial, importante y constructivista con fundamentos propios organizados mediante análisis científicos, descriptivos y explicativos.
Esto nos lleva a estudiar las diferentes teorías que fundamentan la didáctica de las matemáticas en el ámbito epistemológico y así tener un sistema didáctico compuesto por teorías que veremos paso a paso.
Estas teorías reúnen algunos aspectos del proceso de aprendizaje-enseñanza de las matemáticas y los identifica a través de situaciones didácticas encargadas de accionar, formular y validar las actividades presentes, nos lleva a una solución y para llegar a ella el estudiante debe superar ciertos obstáculos ( didácticos, epistemológicos, ontogenéticos ) que le permita superarlos en un entorno tranquilo donde el aprendizaje fluya adecuadamente sin ninguna distracción.
En este tema de investigación veremos un proceso de negociación que se hace en el aula, algunos autores lo llaman contrato didáctico y otros lo llaman contrato de aprendizaje y aquí se establecen las reglas para las actividades de resolución de problemas.
1-) Teoría de situaciones didácticas ( TSD ).
La teoría de situaciones didácticas es una de las mejores teorías que se aplican en el proceso de aprendizaje y de enseñanza de las matemáticas y también puede aplicarse en cualquier área del saber tomando en cuenta que antes de ser aplicadas los profesores deben organizar los contenidos que impartirán en el aula porque así si surge cualquier tipo de situación puedan resolverla sin problema alguno.
Pues bien esta teoría está centrada específicamente en las situaciones de aprendizaje y de enseñanza y pertenece al campo de investigación de la didáctica de las matemáticas, es una de las mejores contribuciones desarrollada por el padre de la didáctica de las matemáticas cuyo nombre es Guy Brousseau un profesor de matemáticas e investigador francés muy reconocido por sus aportes a la enseñanza de las matemáticas.
Esta teoría es una teoría de la enseñanza que se encarga de buscar las condiciones más adecuadas para que los estudiantes puedan adquirir y construir su propio aprendizaje matemático.
Guy Brousseau (1999) afirma que :
“ la descripción sistemática de las situaciones didácticas es un medio más directo para discutir con los docentes acerca de lo que hacemos podrían hacer, y para considerar cómo estos podrían tomar en cuenta los resultados de las investigaciones en otros campos. La teoría de las situaciones aparece entonces como un medio privilegiado, no solamente para comprender lo que hacen los profesores y los alumnos , sino también para producir problemas o ejercicios adaptados a los saberes y a los alumnos y para producir finalmente un medio de comunicación entre los investigadores y con los profesores ”.
Estas teorías se basan en que los conocimientos matemáticos no se pueden construir de forma espontánea, ya que estos se construyen mediante la búsqueda de soluciones que hace el estudiante junto a los demás compañeros de la clase. Esto quiere decir que a través de diferentes situaciones podemos observar cómo aprenden los estudiantes, cómo reaccionan y cómo se comportan.
Por eso Guy Brousseau ( 1986 ) sobre el proceso de aprendizaje de los estudiantes dijo lo siguiente :
“ El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje ”.
Antes de seguir con el tema debemos de saber que los orígenes de la teoría de situaciones didácticas iniciaron en la década de los 70 del siglo XX y sus personajes principales fueron Guy Brousseau, Yves Chevallard y Gérard Vergnaud.
Brousseau se refiere a “ situaciones didácticas ” como una construcción intencionalmente creada por el profesor con el objetivo de ayudar a los estudiantes y así puedan adquirir un saber determinado.
Las situaciones didácticas son planificadas basándose en actividades de problemas, es decir, actividades en las que se presentará un problema para ser resuelto en la clase.
En cada situación didáctica aparecen algunos momentos llamados “ situaciones a-didácticas ” que se caracterizan por el trabajo realizado por el estudiante que interactúa el problema propuesto y lo discute con los demás compañeros de la clase trazando los pasos para resolverlo y llegar a una respuesta.
Y acerca de este nuevo concepto didáctico Brousseau dijo lo siguiente :
“ El término de situación a-didáctica designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno ( buenas o malas ) sin intervención del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego ”.
En este enfoque creado por Brousseau sólo hay tres elementos importantes que son : El profesor, el estudiante y el medio didáctico, ya que a través de estos elementos podemos observar la forma en que se construye el aprendizaje matemático y esto le permite al profesor comprender dichos procesos educativos.
La teoría de situaciones didácticas es una herramienta fundamental en el desarrollo de las diversas situaciones de aprendizaje y de enseñanza, por tanto es muy importante porque así el aprendizaje no se convierte en un proceso poco participativo, ya que el objetivo principal es que los estudiantes se puedan involucrar en dicho proceso, así aplican propios conceptos y conocimientos teóricos y prácticos.
Estas teorías deben ser aplicadas con organización y delicadeza en el aula, por eso el profesor no debe dejarse llevar por las emociones, más bien debe tener seguridad, dominio y autocontrol, ya que esto le permitirá adquirir nuevas experiencias, mejorar su proceso de enseñanza y hacer que el aprendizaje de los estudiantes sea más dinámico, divertido y efectivo.
2-) Tipos de situaciones didácticas.
Las situaciones didácticas se pueden clasificar en cuatro tipos que son :
a-) Situación de acción.
En este tipo de situación el estudiante explora y trata de resolver problemas planteados por el profesor y así resolverlos en el aula.
El estudiante debe actuar sobre el medio didáctico para intercambiar información y llegar a una respuesta.
Esta situación pone al estudiante en contacto con el problema planteado, cuya solución es el saber que se quiere enseñar.
Los estudiantes deben tomar las decisiones adecuadas para organizar actividades de resolución de problemas, ya que esto les permitirá interactuar y recibir información sobre el resultado obtenido.
b-) Situación de formulación.
En esta parte el estudiante escribe sus soluciones al problema planteado por el profesor y los comunica a otros compañeros o al profesor.
Su objetivo principal es brindar una buena comunicación efectiva que se basa en informaciones compartidas por los estudiantes.
Este tipo de situación hace que el estudiante pueda manifestar sus ideas, modelos y planteamientos sobre los conceptos dados y así construir una descripción o representación de los mismos.
c-) Situación de validación.
Se aprueban los pasos a seguir para llegar a la solución del problema.
También se debe probar que las soluciones dadas son correctas y si existen diferentes alternativas para obtener dichas soluciones.
El objetivo principal de este tipo de situación es probar que lo que se dice es verdadero y para ello hay que usar la coherencia de esas afirmaciones realizadas por los estudiantes, aunque se vea compleja o presente algunas dificultades el profesor debe intervenir para mejorar los argumentos, brindar motivación y apoyo a sus estudiantes.
d-) Situación de institucionalización.
Es una consideración oficial fijada por el profesor que establece que el conocimiento matemático ha sido adquirido por los estudiantes durante el proceso didáctico.
En esta situación se trata de que los estudiantes puedan asumir significación social del saber que se puso en práctica en las situaciones de acción, formulación y validación.
3-) El contrato didáctico.
Cada clase de matemática siempre tiene reglas específicas entre el profesor y los estudiantes. Estas reglas son una colaboración para ver la relación de los estudiantes ante un error o algo que sea indicado por el profesor.
En didáctica de las matemáticas tenemos algo llamado “ contrato didáctico” que nos permite describir y explicar las normas que se deben seguir en el aula de matemáticas. Este contrato es un acuerdo o una negociación entre el profesor, los estudiantes y el medio didáctico.
Con el contrato didáctico se pueden cambiar los parámetros establecidos entre el que enseña y el que aprende, es decir, se pueden sustituir las normas por otras que permitan la autonomía del alumno y que sean de gran ayuda para su aprendizaje matemático.
Anderson y Cols (1996) señalan las razones para emplear un contrato didáctico :
a-) Relevancia : Después de que los estudiantes hayan identificado sus necesidades, las actividades se vuelven más significativas, relevantes e interesantes para ellos.
b-) Autonomía : El contrato didáctico permite a los estudiantes libertad para elegir qué aprender y cómo aprenderlo.
c-) Estructura : Nos proporciona un esquema formal compartido por el profesor y sus estudiantes para estructurar las actividades de aprendizaje.
d-) Equidad : Los contenidos y procesos son diversos y los contratos didácticos capacitan a los profesores a responder las necesidades de un rango específico de estudiantes en un ambiente equitativo.
Algunas finalidades del contrato didáctico son :
- Promover autonomía y responsabilidad del estudiante.
- Incrementar la motivación en el aprendizaje de cada estudiante.
-Democratizar la educación, promover procesos de negociación y participación de los estudiantes en el proceso de la docencia.
-Estimular las actividades de los estudiantes en el proceso de aprendizaje-enseñanza.
-Promover la capacidad de autoevaluación y pensamiento crítico del estudiante en su propio aprendizaje.
El contrato didáctico es un concepto que fue introducido por Guy Brousseau y gracias a este concepto los profesores de diferentes áreas del saber han podido comprender ciertos fenómenos educativos. Pero este concepto al principio ha tenido interpretaciones erróneas las cuales en la actualidad ya han sido superadas.
Brousseau, padre de la didáctica de las matemáticas lo define así :
“ al conjunto de todos los hábitos (específicos del conocimiento enseñado) del docente que son esperados por los estudiantes y el conjunto de los comportamientos de los estudiantes que son esperados por el docente ” ( Brousseau,1980,p. 127).
Una de las características del contrato didáctico es que no es algo único, ya que puede presentar dificultades, rupturas y errores que surgen de la interacción social que se realiza en el triángulo didáctico (profesor-alumno-saber) y si el profesor sabe esta información tratará de no cometer errores a la hora de aplicar dicho contrato en el aula.
4-) Tipología de obstáculos.
Todo estudiante a la hora de aprender matemáticas presenta ciertas dificultades que pueden ser superadas mediante métodos y técnicas aplicadas por un profesional de educación o de psicología.
Mayormente estas dificultades se presentan en los estudiantes entre los 5 o
7 años de edad y si no se intervienen con los métodos y técnicas adecuadas
esas dificultades se pueden agudizar en el bachillerato o en la
universidad.
Las dificultades en el proceso de aprendizaje de las matemáticas ha frustrado a muchas personas, les ha bajado la autoestima y hasta han desertado de sus estudios escolares o universitarios.
Las dificultades se originan por los obstáculos o dificultades que no son posibles de superar e impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento (Brousseau,1989).
A continuación veremos algunos tipos de obstáculos que se generan en el proceso de aprendizaje de las matemáticas :
Obstáculos didácticos.
Son limitaciones en el aprendizaje producido por la misma enseñanza para ayudar al estudiante a superar las dificultades y así pueda avanzar en la construcción de nuevos conocimientos.
Los obstáculos didácticos se producen por los " errores didácticos " que se dividen en tres tipos :
a-) Errores metodológicos : Son las palabras o imágenes que se usan de forma inadecuada.
b-) Errores pedagógicos : Son la escasa capacidad de argumentación y uso excesivo de manuales de procedimientos.
c-) Errores curriculares o conceptuales : Son nociones llenas de falsedad que distorsionan el significado del concepto.
En la educación tradicional o actual mayormente los educadores repiten lo que aprendieron de sus profesores y esto hace que los obstáculos didácticos se repitan de generación en generación.
Obstáculos epistemológicos.
Son las limitaciones o impedimentos que afectan la capacidad de los individuos para construir el conocimiento real o empírico.
Los obstáculos epistemológicos que se pueden presentar para pasar a un ámbito verdaderamente científico según Bachelard son :
a-) La experiencia básica : Es el primer conocimiento que se adquiere en los primeros años de aprendizaje. El conocimiento se toma como algo único y verdadero.
b-) El conocimiento general : Este consiste en la creación o modificación de conceptos, generalizando leyes propuestas por diferentes personajes intelectuales reconocidos de la tradición histórica.
c-) El obstáculo verbal : Es el uso inadecuado de palabras o imágenes para explicar un concepto o teoría.
d-) Conocimiento unitario : Este se presenta cuando se sobre valoriza un tema específico.
e-) El obstáculo sustancionalista : Este implica que en un objeto se centran todos los conocimientos que se desempeñan sin tener en cuenta las jerarquías de los papeles empíricos.
f-) Obstáculo realista : Se encarga de tomar la naturaleza de las sustancias como algo que no necesita explicación y se considera como una causa universal. También plantea la necesidad de conservar el realismo de las cosas.
g-) Obstáculo animista : Brinda importancia a los contenidos que se relacionan con la naturaleza.
h-) La libido : Se refiere a la desviación del poder ejercido por el profesor frente a sus estudiantes.
i-) Obstáculo cuantitativo : Se preocupa por la precisión para que no haya exceso de datos informativos.
Obstáculos ontogenéticos.
Están relacionados con las etapas del desarrollo del individuo relacionadas con sus limitaciones y condiciones genéticas.
5-) Teoría de la transposición didáctica ( TTD ).
Cuando un profesor de matemática quiere enseñar un contenido matemático debe tratar de adaptarlo a la edad y conocimiento de los estudiantes para así simplificarlo, usar un lenguaje adecuado y símbolos representativos.
La transposición didáctica hace referencia a los diferentes cambios que sufren los conocimientos matemáticos para ser adaptados como objeto de enseñanza y es algo necesaria porque :
a-) Se selecciona las diferentes partes de las matemáticas que se van a enseñar a los estudiantes.
b-) Se adapta para que los estudiantes puedan comprender los contenidos matemáticos.
c-) Se buscan ejemplos y problemas que sean interesantes para los estudiantes y se apropien de esos conocimientos.
Este concepto está ligado a la mediación entre el saber producido por los profesores de matemática y el saber que se difunde en los contextos escolares.
El tema de la transposición didáctica se encargaba de hacer análisis didácticos que eran precisos y este era su origen principal el cual se difundió entre los didactas de las matemáticas.
El trabajo que transforma de un objeto de saber a enseñar en un objeto de enseñanza, es llamado transposición didáctica.
La transposición didáctica es el mecanismo mediante el cual el profesor toma el conocimiento, hace modificaciones y transformaciones de él y así se los presenta de forma organizada a sus estudiantes.
La transposición didáctica es la transformación del conocimiento del experto (saber sabio) en un conocimiento susceptible de transmitirse a otro nivel (saber enseñado).
Esta teoría implica una serie de fases en las que el conocimiento científico se puede adaptar al nivel de los estudiantes. En primer lugar, el conocimiento es modificado para que así pueda ser enseñado y transformarlo en un objeto de enseñanza. Una de estas fases consiste en la que el profesor toma el conocimiento, lo modifica y lo adapta en función de las características de su aula asignada.
Características de la transposición didáctica.
a-) Desincretización del saber.
- El conocimiento a enseñar, si bien pertenece en origen a un campo determinado, se diferencia de éste en tanto a que es menos específico.
b-) Despersonalización del saber.
- Todo conocimiento académico tiene uno o más autores detrás.
c-) Programabilidad de la adquisición del saber.
- El conocimiento a enseñar se ha elaborado de tal forma que permite ser introducido, explicado y concluido de forma clara.
d-) Publicidad y control social de los aprendizajes.
- Al ser modificado para llegar a niveles especializados, el conocimiento a enseñar puede llegar a un público más amplio, permitiendo ser expuesto en los medios de comunicación.
Al hablar de esta nueva teoría de la didáctica de las matemáticas el lector debe de observar que mencionamos la palabra “antropológica ” y la razón es para referirnos a una teorización de elementos que serán explicados a continuación sin tener ningún malentendido.
Esta nueva teoría de la didáctica de las matemáticas nos permite describir con análisis coherentes y precisos sobre el estudio de los contenidos pertenecientes al área de las matemáticas.
La TAD tiene un punto crucial que sitúa las actividades matemáticas en un conjunto dado de actividades humanas que tienen una postura epistemológica donde sus mensajes son difundidos en las instituciones establecidas.
En la comunidad de investigadores de la didáctica de las matemáticas y otras disciplinas científicas, están interesados por los problemas y fenómenos educativos que se presentan en el área de las matemáticas.
Un acontecimiento importante de la didáctica de las matemáticas ocurrió en Baeza, España, donde se realizó el primer congreso internacional sobre la teoría antropológica de lo didáctico en octubre del año 2005.
Este congreso tenía como propósito reunir a diferentes investigadores que trabajaban en este campo de investigación haciendo un gran avance y aporte en el desarrollo del sistema de enseñanza y la formación docente.
Estos investigadores han contribuido arduamente en esta nueva teoría que dio origen a una nueva concepción de las matemáticas llamada “ Didáctica Fundamental ” que tenía fundamentos generales ligados a la matemática y a las teorías específicas del aprendizaje con una postura integradora a través de métodos cuantitativos y cualitativos.
Una característica de la TAD es que establece un marco teórico con originalidad, crea y desarrolla métodos y técnicas convertidas en actividades solucionadoras en las situaciones de aprendizaje y de enseñanza.
Desde la perspectiva antropológica, la didáctica de las matemáticas es el estudio del hombre y las sociedades humanas que aprenden y enseñan matemática.
Bosh, Fonseca, Gascón expresan :
" El modelo que propone actualmente la Teoría Antropológica de lo Didáctico, describe el conocimiento matemático en términos de organizaciones o praxeologías matemáticas cuyos componentes principales son tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teorías " .
También en la TAD tenemos un componente llamado “ Organización Matemática ”, este es un componente práctico formado por los tipos de tareas que se van a realizar y las técnicas que se van utilizar para describir, explicar y justificar la práctica docente.
Ahora bien, la TAD se centra en la dimensión institucional de los conocimientos matemáticos para tener un desarrollo en los programas de investigación iniciados en la didáctica fundamental.
Esta teoría “ pone la actividad matemática y, por tanto, la actividad de estudio de la matemática, en el conjunto de la actividad humana y de las instituciones sociales ” (Chevallard, 1999).
Este es otro enfoque de la didáctica de las matemáticas que ha sido estudiado por investigadores de diferentes áreas del saber aunque haya ciertas limitaciones, su desarrollo sistemático se puede identificar e interpretar llegando a conclusiones que han sido de gran ayuda para el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.
Aquí veremos el significado del objeto matemático, según Chevallard lo definió de esta forma :
“ Un emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos : registro de lo oral, palabras o expresiones pronunciadas ; registro de lo gestual ; dominio de la inscripción, lo que se escribe o dibuja (grafismi, formulismo, cálculos, etc.), es decir, registro de lo escrito ” ( Chevallard, p.8) " .
Los tipos de objetos matemáticos son los siguientes :
a-) Lenguaje : Términos, expresiones, notaciones o gráficos.
b-) Situaciones : Problemas, aplicaciones, ejercicios.
c-) Procedimientos : Operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo.
d-) Conceptos : Definiciones, descripciones.
A su vez, los objetos matemáticos mencionados anteriormente se pueden organizar en entidades más complejas como sistemas teóricos o conceptuales.
El enfoque Ontosemiótico ha sido considerado como un marco teórico que tuvo sus orígenes e inicios en la didáctica de las matemáticas con el objetivo de promover algunas nociones teóricas sobre el conocimiento matemático, su enseñanza y su aprendizaje. Tiene una perspectiva global que toma en cuenta las dimensiones aplicadas en las interacciones del proceso matemático.
El EOS ha encontrado un gran apoyo entre muchos investigadores del área de las matemáticas y sus aportaciones han sido un nutriente saludable en otras disciplinas científicas y también en el ámbito tecnológico.
Todo enfoque tiene sus cuestiones propias para motivar y desarrollar los fundamentos teóricos que pertenecen a las investigaciones que se hacen en la didáctica de las matemáticas tomando en cuenta la epistemología de las matemáticas y la epistemología de la didáctica de las matemáticas que se han convertido en un objeto prioritario, reflexivo y analítico.
Con estos planteamientos el EOS trata de brindar una respuesta obtenida y proveniente de la didáctica de las matemáticas y así ampliar su campo de investigación sobre los significados institucionales y personales en un proceso de instrucción matemática que se divide en seis dimensiones :
a-) Epistémica ( conocimiento institucional ).
b-) Docente ( funciones del profesor ).
c-) Discente ( funciones del estudiante ).
d-) Mediacional ( uso de recursos instruccionales ).
e-) Cognitiva ( principio de significados personales ).
f-) Afectiva ( actitudes y emociones ante el estudio de las matemáticas ).
Ahora veremos el conjunto de las nociones teóricas que componen el EOS y están clasificadas en seis grupos que permiten un análisis de los procesos de aprendizaje y de enseñanza de los temas impartidos en el área de las matemáticas :
a-) Sistema de prácticas : Estas prácticas pueden ser operativas, discursivas y normativas y deben adoptar como elemento central la actividad de resolución de problemas en la construcción del conocimiento matemático.
b-) Configuración de objetos y procesos matemáticos : Son aquellos que intervienen en las prácticas matemáticas teniendo en cuenta un lenguaje expresivo, representativo y coherente de los contenidos matemáticos.
c-) Configuración didáctica : Es un sistema de roles docentes y discentes y son una herramienta básica para analizar la instrucción matemática.
d-) Dimensión normativa : Es un sistema de reglas que generaliza la noción del contrato didáctico y normas socio-matemáticas.
e-) Dimensión meta-normativa : Es un sistema de creencias, concepciones y reflexiones sobre la matemática escolar.
f-) Idoneidad didáctica : Es un criterio general que nos permite adecuar las acciones de los agentes educativos, de los conocimientos aplicados y los recursos usados en el proceso matemático.
Una característica principal del EOS es la construcción de un marco teórico que está integrado en cualquier investigación realizada en la didáctica de las matemáticas mediante estrategias consideradas necesarias para constituir niveles de análisis didácticos elaborados a partir de herramientas con el objetivo de comprender los aprendizajes matemáticos y producir nuevos conocimientos didácticos que deberán ser potenciados en el futuro.
La teoría de los campos conceptuales es una teoría creada por Gérard Vergnaud , un gran psicólogo del cognitivismo y pionero de la didáctica de las matemáticas junto a Guy Brousseau e Yves Chevallard, entre otros.
En el año 1990 Gérard Vergnaud creó esta teoría de la enseñanza
que nos permite comprender el proceso sistemático de conceptualización,
las diferentes nociones de las competencias educativas y el desarrollo del
proceso de aprendizaje y de enseñanza en cualquier disciplina
científica.
Para entender un poco esta teoría debemos de saber que existen dos
conceptos principales que son “ situación y esquema ” , que a pesar
de no estar vinculados mutuamente, los esquemas se pueden adaptar a
diferentes situaciones con una ampliación que valora la utilidad de las
cosas prácticas.
Según Vergnaud los esquemas tienen cuatros componentes : una meta
indicada, las reglas a seguir, operaciones no variantes entre sí y las
posibilidades de obstáculos y dificultades presentes en él.
Esta teoría tiene un gran potencial en la actualidad, ya que nos permite hacer buenas descripciones, interpretaciones y análisis de los fenómenos educativos que se presentan en el aula, por eso Vergnaud organiza los conocimientos en campos conceptuales que se definen como las diferentes situaciones, estructuras, contenidos y operaciones las cuales tienen una conexión que actúa en todo el proceso de aprendizaje y de enseñanza.
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